Khái niệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì, biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn? Toán 10 chân trời tập 1 chương 2 bài 1

Lý Thuyết Toán 10: Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Chân Trời Sáng Tạo)

Khái niệm Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì, biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0,

trong đó a, b, c là những số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

* Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x – 3y + 1 ≤ 0;

b) x – 3y + 1 ≥ 0;

c) y – 5 > 0;

d) x – y² + 1 > 0

* Lời giải:

- Bất phương trình 2x – 3y + 1 ≤ 0 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = - 3 và c = 1.

- Bất phương trình x – 3y + 1 ≥ 0 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = - 3 và c = 1.

- Bất phương trình y – 5 > 0 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b = 1 và c = -5.

- Bất phương trình x – y² + 1 > 0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa y².

Vậy các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a), b), c).

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

* Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

* Ví dụ: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0.

a) (9 ; 1)

b) (2 ; 6)

c) (0 ; – 4)

* Lời giải:

Ta thay lần lượt các giá trị của cặp số vào bất phương trình. Ta có:

a) Vì 4.9 – 7.1 – 28 = 1 > 0

Nên (9 ; 1) là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0.

b) Vì 4.2 – 7.6 – 28 = –62 < 0

Nên (2 ; 6) không phải là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0 .

c) Vì 4.0 – 7.(–4) – 28 = 0

Nên (0 ; –4) là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0.

Vậy các cặp số là nghiệm của bất phương trình đã cho là: (9; 1) và (0; –4).

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

- Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc ∆. Tính ax₀ + by₀ + c.

- Bước 3: Kết luận

• Nếu ax₀ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x₀; y₀).

• Nếu ax₀ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x₀; y₀).

* Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

* Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau :

a) 2x + y – 2 ≤ 0

b) x – y – 2 ≥ 0

* Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng ∆ : 2x + y – 2 =  0 đi qua hai điểm A(0; 2); B( 1; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và  2 . 0 + 0 – 2 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x + y – 2 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 2x + y – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆, có chứa gốc O.

(phần không bị gạch chéo)

b) Vẽ đường thẳng ∆ : x –  y – 2 =  0 đi qua hai điểm A(0; – 2); B(2; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và  0 –  0 – 2 < 0.

Suy ra (0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình x –  y – 2 ≥ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x –  y – 2 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆, không chứa điểm O.

(phần không bị gạch chéo)