Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12

Vậy ứng dụng hàm số giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

¤ Bài toán yêu cầu giải PT: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến):

- Nếu là PT: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

- Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm được nghiệm

¤ Định lý này cũng được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.

2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.

* Lưu ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

3. Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y).

II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a)x²⁰¹⁹ + x = 2

b)

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x²⁰¹⁹ + x ⇒ f'(x) = 2019x²⁰¹⁸ + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt khác f(1) = 1²⁰¹⁹ + 1 = 2 nên theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: Với bài toán này các em thấy không phải dạng quen thuộc và số mũ khá lớn nên cần nghĩ đến việc ứng dụng hàm số để giải, và các em thấy việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nhiều.

b) Điều kiện x ≥ 1 và ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

- Đặt:  với x > 1.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt khác, ta có  nên theo định lý 1 và 3, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: - Với bài toán này nếu vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và điều kiện khá phức tạp và gây khó khăn hơn việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

- Khi dự đoán nghiệm thì thường thử với ±2; ±1; ±1/2 và 0. Đối với hàm có căn thức thì giá trị của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận giá trị là số chính phương (số khai căn ra được các số nguyên).

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

° Lời giải:

a) TXĐ: 

- Đặt , ta có f(x) là hàm liên tục trên D.

   nên hàm số f(x) luôn đồng biến.

- Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

(Vì nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm; hay nếu x < 1 ⇒ f(x) < f(1) = 4 và pt cũng vô nghiệm).

b) TXĐ: 

- Phương trình đã cho 

- Đặt  liên tục trên D và

⇒ f(x) là hàm đồng biến trên D

- Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) TXĐ: 

- Ta có:  

 Xét 

 , nên hàm số đồng biến trên D.

- Mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét:  Với bài toán trên thì việc vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức, các phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ đều khá khó và phức tạp hơn rất nhiều việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

° Lời giải:

a) Đối với bài toán cách giải sẽ không hoàn toàn giống các bài toán ở ví dụ 1 và 2. Ta để ý thấy biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung 1 mối liên hệ, ở vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 và vế phải là 2x² + 1 = (2x²) + 1, như vậy nếu đặt  thì phương trình đã cho trở thành:

Xét  là một hàm liên tục và 

⇒ f(t) là hàm đồng biến. nên theo định lý 2 ta có:

- Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.

b) Điều kiện:  đúng ∀x.

- Để ý các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

 (2x² + 4x + 5) - (x² + x + 3) = x² + 3x + 2. nên ta có phương trình ban đầu trở thành:

   (*)

- Đặt u = x² + x + 3; v = 2x² + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

 Xét hàm 

⇒ f(t) là hàm đồng biến.

- Mặt khác, từ (*) ta có: 

- Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = {-1;-2}.

* Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a) 3^x + 4^x = 5^x

b) 9^x + 2(x - 2)3^x + 2x - 5 = 0

° Lời giải:

a) 3^x + 4^x = 5^x (1)

- Chia 2 vế của pt (1) cho 5^x ta được:

- Xét hàm: là hàm nghịch biến (vì đây là hàm mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 nên là hàm nghịch biến, hoặc có thể tính f'(x) sẽ thấy hàm nghịch biến).

- Mặt khác, ta có f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.

* Nhận xét: Với bài toán này rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số để giải sẽ dễ dàng hơn.

b) 9^x + 2(x - 2)3^x + 2x - 5 = 0

- Đặt t = 3^x > 0 phương trình trở thành

- Đối chiếu điều kiện t = -1 < 0 (loại)

- Với t = 5 - 2x ⇔ 3^x = 5 - 2x ⇔ 3^x + 2x - 5 = 0

Xét f(x) = 3^x + 2x - 5 ⇒ f'(x) = 3^x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt khác, f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a)

b)

c)

° Lời giải:

a) TXĐ:

- Xét hàm:  ta có:

⇒ f(x) là hàm số nghịch biến và f(1) = 6.

⇒ f(x) ≤ 6 = f(1) ⇔ x ≥ 1.

- Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 

b) Điều kiện: x>0

- Đặt log₇x = t ⇔ x = 7^t bất phương trình đã cho trở thành:

Do f(t) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên BPT f(t) < f(2) ⇔ t > 2 hay log₇x > 2 ⇔ x > 49.

c) TXĐ:

- Bất phương trình tương đương:

- Xét hàm: 

⇒ f(t) là hàm đồng biến trên khoảng [1;3]

 Khi đó BPT đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x) ⇔ x - 1 > 3 - x ⇔ x>2

- Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2<x≤3.

III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.

Bài 1. Giải các phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Bài 2. Giải các Bất phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)

b)

c)

d)

e)