Tích của một số với một Vectơ, điều kiện 2 vectơ cùng phương? Toán 10 chân trời tập 1 chương 5 bai 3

Bạn có thắc mắc: "Tích của một số với một vectơ và điều kiện hai vectơ cùng phương như thế nào?". Câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

• Cho số k khác 0 và  khác . Tích củasố k với vectơ  là một vectơ, kí hiệu là k.

• Vectơ k cùng hướng với  nếu k > 0, ngược hướng với  nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.||.

• Ta quy ước 0 =  và k = .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

* Ví dụ: Cho hai vectơ ,  và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ 

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: 

* Lời giải:

a) Ta có:  nên vectơ  cùng hướng với vectơ  và có độ dài bằng 

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ  và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ thỏa mãn MN = 3||

Ta lại có:  nên vectơ  cùng hướng với vectơ  và có độ dài bằng

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ  và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ  thỏa mãn MP = 3.||

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là 

Ta có vectơ  có độ dài là || =2, vectơ  có độ dài là || = 

Ta có: |3| = 3.|| = 3. = 3

|–3| = |–3|.|| = 3. = 3

Lại có: 2 + 2 = 2( + )  (1)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với 

Ta có:

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Nên:

Ta có: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA 

=  + 2² – 2 .   . 2 . cos135° = 10

Vậy

* Tính chất của phép nhân 1 số với một vectơ

Với hai vectơ  và  bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

• k( + ) = k + k;

• (h + k) = h + k;

• h(k) = (hk);

• 1. = ;

• (–1) = –.

* Ví dụ: Ta có:

a) 5( + ) = 5 + 5;

b) (n + m) = n + m;

c) 3.(–6) = [3.(–6)] = –18;

d) 2 – 7 = (2 – 7) = –5.

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Hai vectơ  và  ( khác ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho  = k

* Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 

* Chú ý: Cho hai vectơ  và  không cùng phương. Với mỗi  luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho  = m + n.

* Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn:   Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

* Lời giải:

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có:

Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: 

Mà 

Do đó: 

Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.