Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Công thức và tính chất

11:14:24Cập nhật: 29/08/2025

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ thuộc chương 5, sách giáo khoa Toán 10 Chân trời sáng tạo Tập 1, là một kiến thức nền tảng quan trọng về vectơ. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững các nội dung chính: góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của tích vô hướng.

Bạn đang tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: "Công thức tích vô hướng của hai vectơ là gì? Tính chất tích vô hướng như thế nào? Góc giữa hai vectơ được xác định ra sao?". Mọi thắc mắc sẽ được giải đáp ngay trong nội dung dưới đây.

1. Góc giữa hai vectơ

• Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác $\small \overrightarrow{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\small \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

Góc giữa hai vectơ

Góc $\small \widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ .

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ).

Nếu ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\vec{b}$ ) = 90^o thì ta nói rằng $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$

* Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ) = ( $\small \overrightarrow{b}$ , $\small \overrightarrow{a}$ )

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\small \overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\small \overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ hoặc $\small \overrightarrow{b}$ là vectơ $\small \overrightarrow{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Góc giữa hai vectơ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác $\small \overrightarrow{0}$ .

Tích vô hướng của $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ , được xác định bởi công thức:

$\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = | $\small \overrightarrow{a}$ |.| $\small \overrightarrow{b}$ |.cos( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ).

* Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ bằng $\vec{0}$ , ta quy ước $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0.

b) Với hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ , ta có $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$ ⇔ $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0

c) Khi $\small \overrightarrow{a}$ = $\small \overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\small \overrightarrow{a}$ . $\vec{a} . \vec{b}$ được kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ ² và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\small \overrightarrow{a}$

Ta có $\small \overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{a}|cos0^0=|\overrightarrow{a}|^2$ . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

3. Tính chất của tích vô hướng

Cho ba vectơ $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ , $\small \overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

• $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$

• $\small \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$

• $\small (k\overrightarrow{a})\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$

* Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

$\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

* Lời giải:

Ta có: $\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

$\small =\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$\small =\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$\small =\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

Vậy: $\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

* Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

$\small (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$\small (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2$

Với nội dung bài viết chi tiết, dễ hiểu về công thức tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất, cùng với khái niệm góc giữa hai vectơ, hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức trọng tâm của chương. Mọi góp ý và thắc mắc, hãy để lại nhận xét dưới bài viết để được hỗ trợ. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Lý thuyết Toán 10 bài 1 chương 5 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 bài 2 chương 5 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 bài 3 chương 5 Chân trời sáng tạo