Giải bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1:

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Giải bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (*)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

MA = MB = MC ⇒ MA = BC/2

• Xét ΔABC

Có MA là trung tuyến và MA = BC/2

Nên ΔABC vuông tại A

• Xét ΔMBA cân tại M (do MA = MB )

Có EM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ME cũng là đường cao

⇒ ME ⊥ AB 

• Xét ΔMCA cân tại M (do MA = MC)

Có FM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MF cũng là đường cao

⇒ MF ⊥ AC

• Xét tứ giác AEMF có:

Vì vậy, AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

Xét ΔAOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến), có:

AE ⊥ MO nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA² = ME . MO (3)

Xét ΔAO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có AF ⊥ MO' nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA² = MF.MO' (4)

Từ (3) và (4) ta có: ME. MO = MF. MO’.

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA, đường tròn này có BC là đường kính do 

Mặt khác OO' ⊥ MA tại A

⇒ OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Ta có: 

Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang

Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI  là đường trung bình của hình thang OBCO’

⇒ MI // OB // O'C

Mà:  (*)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên: 

⇒ ΔOMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.