Giải bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài:

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt đi sâu vào từng phần:

• a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật: Ta cần chứng minh tứ giác này có ba góc vuông. Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các góc vuông.

• b) ME.MO=MF.MO′: Ta sẽ tìm một đoạn thẳng chung để áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông.

• c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC: Ta cần chứng minh OO' vuông góc với bán kính của đường tròn có đường kính BC.

• d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO': Tương tự, ta cần chứng minh BC vuông góc với bán kính của đường tròn có đường kính OO'.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (*)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

MA = MB = MC ⇒ MA = BC/2

• Xét ΔABC

Có MA là trung tuyến và MA = BC/2

Nên ΔABC vuông tại A

• Xét ΔMBA cân tại M (do MA = MB )

Có EM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ME cũng là đường cao

⇒ ME ⊥ AB 

• Xét ΔMCA cân tại M (do MA = MC)

Có FM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MF cũng là đường cao

⇒ MF ⊥ AC

• Xét tứ giác AEMF có:

Vì vậy, AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

Xét ΔAOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến), có:

AE ⊥ MO nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA² = ME . MO (3)

Xét ΔAO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có AF ⊥ MO' nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA² = MF.MO' (4)

Từ (3) và (4) ta có: ME. MO = MF. MO’.

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA, đường tròn này có BC là đường kính do 

Mặt khác OO' ⊥ MA tại A

⇒ OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Ta có: 

Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang

Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI  là đường trung bình của hình thang OBCO’

⇒ MI // OB // O'C

Mà:  (*)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên: 

⇒ ΔOMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.