Cách viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) trong Oxyz

Bài viết dưới đây, Hay học hỏi sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải và các ví dụ cụ thể giúp các em tự tin chinh phục chuyên đề Hình học Oxyz lớp 12.

1. Phương pháp viết phương trình mặt phẳng (P)

Để lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng (Q), chúng ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$, ký hiệu là $\vec{u}_d$.

• Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q), ký hiệu là $\vec{n}_Q$.

• Bước 3: Vì (P) chứa $d$ và vuông góc với (Q) nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$ của (P) sẽ vuông góc với cả $\vec{u}_d$ và $\vec{n}_Q$. Do đó, ta tính:

  $$\vec{n}_P = [\vec{u}_d, \vec{n}_Q]$$

• Bước 4: Lấy một điểm $M$ bất kỳ nằm trên đường thẳng $d$ (điểm này cũng sẽ thuộc mặt phẳng (P)).

• Bước 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$.

2. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d: \frac{x}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{1}$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 2y - z + 1 = 0$.

Lời giải:

• Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0; -1; 2)$ và có VTCP $\vec{u}_d = (-1; 2; 1)$.

• Mặt phẳng (Q) có VTPT $\vec{n}_Q = (1; 2; -1)$.

• VTPT của mặt phẳng (P) là:

  $$\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{u}_d] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \right) = (4; 0; 4)$$

• Chọn $\vec{n} = (1; 0; 1)$ làm VTPT cho gọn.

• Phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M(0; -1; 2)$ có VTPT $(1; 0; 1)$ là:

  $$1(x - 0) + 0(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + z - 2 = 0$$

Ví dụ 2

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - 5t \end{cases}$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + 2z - 3 = 0$.

Lời giải:

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 4)$ và có VTCP $\vec{u}_{\Delta} = (1; 3; -5)$.

• Mặt phẳng (Q) có VTPT $\vec{n}_Q = (1; 1; 2)$.

• VTPT của mặt phẳng (P) là:

  $$\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{u}_{\Delta}] = \left( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -5 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right) = (-11; 7; 2)$$

• Phương trình mặt phẳng (P) đi qua $A(2; -1; 4)$ có VTPT $(-11; 7; 2)$ là:

  $$-11(x - 2) + 7(y + 1) + 2(z - 4) = 0 \Leftrightarrow 11x - 7y - 2z - 21 = 0$$

Ví dụ 3

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + z - 3 = 0$.

Lời giải:

• Trục $Ox$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ và có VTCP $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

• Mặt phẳng (Q) có VTPT $\vec{n}_Q = (1; 1; 1)$.

• VTPT của mặt phẳng (P) là:

  $$\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{i}] = (0; 1; -1)$$

• Phương trình mặt phẳng (P) đi qua $O(0; 0; 0)$ có VTPT $(0; 1; -1)$ là:

  $$0(x - 0) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y - z = 0$$

3. Một số lưu ý khi làm bài

• Điểm thuộc đường thẳng: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc, điểm $M$ có thể lấy trực tiếp từ tử số. Nếu ở dạng tham số, hãy cho $t=0$.

• Vectơ pháp tuyến: Các em có thể rút gọn vectơ pháp tuyến bằng cách chia cho một số thực khác 0 để phương trình mặt phẳng trông đơn giản hơn.

• Kiểm tra lại: Sau khi viết xong phương trình (P), các em nên thử lại xem điểm $M$ có thuộc (P) không và vectơ pháp tuyến của (P) có vuông góc với $\vec{n}_Q$ không.