Cách viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm (Giải nhanh + mẹo tránh sai) – Toán 12

1. Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S)

• Bước 2: Lập hệ pt dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID

• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA

• Bước 4: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I bán kính R

2. Ví dụ viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4).

* Lời giải:

Có thể giải theo 2 cách:

* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

- Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính  có phương trình là:

 (x + 2)² + (y - 1)² + z² = 26

* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình mặt cầu có dạng:  x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , (a² + b² + c² - d > 0).

- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

 (x + 2)² + (y - 1)² + z² = 26

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3), D(1; 2; 3).

* Lời giải:

- Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, ta có:

Vậy I(0;1;1)

Bán kính 

Vậy phương trình mặt cầu tâm I bán kính R đi qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình là:

 x² + (y - 1)² + (z - 1)² = 6

3. Mẹo giải nhanh phương trình mặt cầu qua 4 điểm

Thay vì giải trực tiếp hệ 4 phương trình phức tạp, bạn có thể làm nhanh như sau:

Mẹo 1: Dùng hiệu bình phương

Từ:
IA² = IB²
IA² = IC²
IA² = ID²

→  Khi khai triển, các bình phương sẽ triệt tiêu → chỉ còn phương trình bậc nhất.

Mẹo 2: Chọn 1 điểm làm “gốc so sánh”

→  Thường chọn điểm A:

• IA² = IB²
• IA² = IC²
• IA² = ID²

→ Giúp giảm số phép tính.

Mẹo 3: Nhận dạng nhanh dạng tổng quát

Phương trình mặt cầu luôn có dạng:

x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d=0

→  Sau khi tìm được a, b, c → suy ra tâm luôn.

4. Lỗi học sinh thường gặp

Những lỗi sai khi làm dạng này

• ❌ Khai triển sai bình phương
• ❌ Nhầm dấu khi chuyển vế
• ❌ Giải sai hệ phương trình

  Cách tránh:

  • Luôn kiểm tra lại từng bước
  • Thay lại nghiệm vào 1 phương trình ban đầu

5. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Viết phương trình mặt cầu đi qua các điểm:

• A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1)

Bài 2:

Cho 4 điểm:

• A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), D(1;1;0)

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm đó.