Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D - Toán 12 chuyên đề

Nếu các em chưa nắm chắc cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D như thế nào? thì các em hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay

I. Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S)

• Bước 2: Lập hệ pt dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID

• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA

• Bước 4: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I bán kính R

II. Ví dụ viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4).

* Lời giải:

Có thể giải theo 2 cách:

* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

- Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính  có phương trình là:

 (x + 2)² + (y - 1)² + z² = 26

* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình mặt cầu có dạng:  x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , (a² + b² + c² - d > 0).

- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

 (x + 2)² + (y - 1)² + z² = 26

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3), D(1; 2; 3).

* Lời giải:

- Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, ta có:

Vậy I(0;1;1)

Bán kính 

Vậy phương trình mặt cầu tâm I bán kính R đi qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình là:

 x² + (y - 1)² + (z - 1)² = 6