Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm, điều kiện hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm? Toán lớp 12 - Hỏi đáp

Nếu các em chưa biết Điều kiện hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm hay cách Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm như nào? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm

Xét hàm số bậc 3 có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx  + d với (a ≠ 0) 

(Áp dụng cho bài toán không tác được m và x)

Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0

Ta có f'(x) = 3ax² + 2bx + c,   (*)

Δ' = b² – 3ac

Để hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm thì phương trình (*) không có điểm cực trị nào hoặc pt(*) có 2 nghiệm phân biệt nằm cùng một phía đối với trục hoành, tức là:

(Với x₁, x₂ là nghiệm của f'(x) = 0)

2. Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 1 điểm

Ta vận dụng điều kiện trên để tìm m để hàm bậc 3 cắt trục hoành Ox tại 1 điểm phân biệt.

* Ví dụ: Cho hàm bậc 3: y = f(x) = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx – 2

Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

* Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx – 2 = 0

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 không nhẩm được nghiệm nên ta dùng tính chất cực trị của hàm bậc 3 để giải bài toán này.

Ta có: f'(x) =  6x² – 6(m + 1)x + 6m

Δ' = 9(m + 1)² – 36m = 9(m – 1)² ≥ 0, ∀m

Để hàm số cắt Ox tại 1 điểm duy nhất thì hàm số không có cực trị hoặc có 2 cực trị nằm cùng phía so với trục hoành.

  (*)

Lấy f(x) chia f'(x) ta được:

Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị là: y = –(m – 1)²x + m² + m – 2

x₁, x₂ lần lượt là hoành độ điểm cực đại và cực tiểu thì: 

Khi đó: 

y_CD.y_CT > 0 ⇔ [–(m – 1)²x₁ + m² + m – 2].[–(m – 1)²x₂ + m² + m – 2] > 0

⇔ m² – 2m – 2 < 0

Do đó:

Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi:

* Ví dụ 2: Cho hàm bậc 3: y = x³ + mx + 2

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

(Bài toán này tách được m và x, nên dùng phương pháp biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số).