Giải bài 26 trang 115 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài:

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ lại các tính chất quan trọng của tiếp tuyến và các đường trong tam giác:

• Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đường tròn thì bằng nhau. Đường nối từ điểm đó đến tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến và cũng là đường phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

• Tam giác cân: Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường cao và đường trung tuyến.

• Đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

• Định lý Pythagoras: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Nên ΔABC cân tại A.

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Chứng minh rằng BD song song với AO.

Gọi I là giao điểm của AO và BC.

⇒ BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét ΔCBD có :

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD//OI (OI là đường trung bình của tam giác BCD).

Vậy BD//AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Ta có: OC = OB = 2 cm (bán kính)

Theo định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông OAC (tính chất tiếp tuyến):

AC² = OA² – OC² = 4² – 2² = 12

Lại có: 

Tam giác ABC cân tại A có  nên ABC là tam giác đều.

Do đó AB = BC = AC =  (cm).