Tam thức bậc hai là gì, Dấu của tam thức bậc 2? Toán 10 chân trời tập 2 chương 7 bài 1

Tam thức bậc hai là gì, Định lí về dấu của tam thức bậc 2 như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Tam thức bậc hai

1.1 Tam thức bậc hai là gì

– Đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x₀ vào f(x), ta được gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x₀.

• Nếu f(x₀) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x₀.

• Nếu f(x₀) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x₀.

• Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a) f(x) = 2x² + x – 1;

b) g(x) = –x⁴ + 2x² + 1;

c) h(x) = –x² + x – 3.

* Lời giải:

a) Biểu thức f (x) = 2x² + x – 1 có dạng tam thức bậc hai với a = 2, b = 1 và c = –1.

Với x = 1 thì f (1) = 2.1² + 1 – 1 = 2 > 0.

b) Biểu thức g(x) = –x⁴ + 2x² + 1 không có dạng tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là bậc 4.

c) Biểu thức h(x) = –x² + x – 3 có dạng tam thức bậc hai với a = –1, b = , c = –3.

Với x = 1 thì h(1) = – 1² + .1 – 3 = – 4 < 0.

1.2 Nghiệm của tam thức bậc hai

– Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

• Nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c là nghiệm của f(x).

• Biểu thức ∆ = b² – 4ac và ∆' = (b/2)² – ac lần lượt là biệt thức và biệt thức rút gọn của f(x).

* Ví dụ: Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x² – 5x + 2;

b) g(x) = – x² + 6x – 9;

c) h(x) = 4x² – 4x + 9.

* Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 5x + 2

có ∆ = (-5)² – 4.2.2 = 25 – 16 = 9 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

  và 

Vậy biệt thức ∆ = 9 và tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 1/2.

b) Tam thức bậc hai g(x) = – x² + 6x – 9

có ∆ = 6² – 4.(-1).(-9) = 36 – 36 = 0.

Do đó g(x) có nghiệm kép là:

Vậy biệt thức ∆ = 0 và tam thức có hai nghiệm kép x = 3.

c) Tam thức bậc hai h(x) = 4x² – 4x + 9

có ∆ = 4² – 4.4.9 = 16 – 144 = - 128 < 0.

Do đó tam thức vô nghiệm.

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

+ Nếu ∆ = 0 và x₀ = –b/2a là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x₀.

+ Nếu ∆ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) (x₁ < x₂) thì:

• f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x₁; x₂);

• f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁), (x₂; +∞).

* Chú ý:

+ Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;

Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f(x).

+ Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆' thay cho biệt thức ∆.

* Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x² – 3x – 2;

b) g(x) = - x² + 2x – 3.

* Lời giải:

a) Tam thức f(x) = 2x² – 3x – 2

có ∆ = (–3)² – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1/2 và x₂ = 2 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm trong khoảng (–1/2; 2) và dương trong hai khoảng (–∞; –1/2). và (2; +∞).

Vậy với x ∈ (–1/2; 2) thì f(x) < 0

và x ∈ (–∞; –1/2) hoặc x ∈ (2; +∞) thì f(x) > 0.

b) Tam thức g(x) = –x² + 2x – 3

có ∆ = 2² – 4.(–1).(–3) = 4 – 12 = – 8 < 0.

Do đó g(x) vô nghiệm và a = –1 < 0.

Vậy g(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.