Công thức tính Xác suất của biến cố, tính xác suất bằng sơ đồ hình cây? Toán 10 chân trời tập 2 chương 10 bài 2

Công thức tính Xác suất của biến cố, tính xác suất bằng sơ đồ hình cây như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Xác suất của biến cố, khái niệm và công thức

– Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố.

Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

Trong đó n(A) và n(Ω) lần lượt là kí hiệu số phần tử của tập A và .

* Chú ý:

+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.

+ Với mọi biến cố A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

+ P(Ω) = 1, P(∅) = 0.

+ Xác suất của mỗi biến cố đo lường xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng gần 1.

* Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”;

b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”.

* Lời giải:

Do hai con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất nên các mặt của nó đều có cùng khả năng xuất hiện.

Không gian mẫu của phép thử trên là:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); {(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

Có 36 kết quả không gian mẫu, tức là n(Ω) = 36.

a) Đặt biến cố A: “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”.

Khi đó A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

Số kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 6.

Do đó, xác suất của biến cố A là:

P(A) = n(A)/n(Ω) = 6/36 = 1/6

b) Đặt biến cố B: “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”

Khi đó B = {(3; 6); (4; 5); (5; 4); (6; 3)}.

Số kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 4.

Do đó, xác suất của biến cố B là:

P(B) = n(B)/n(Ω) = 4/36 = 1/9

2. Tính xác suất bằng sơ đồ hình cây

– Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây để liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất

* Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A: “Trong 3 lần tung có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa”.

* Lời giải:

Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nếu tung được mặt ngửa.

Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần tung được thể hiện trong sơ đồ hình cây dưới đây:

Có tất cả 8 kết quả xảy ra, trong đó có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Do đó: P(A) = 7/8.

3. Biến cố đối

– Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.

* Ví dụ: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra:

a) Có ít nhất 1 bi xanh.

b) Có ít nhất 2 bi đỏ.

* Lời giải:

Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp nên các kết quả của không gian mẫu là: 

n(Ω) = C₁₂⁴ = 495

a) Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 bi xanh”

Khi đó  là biến cố “Không có bi xanh” nghĩa là trong 4 bi được lấy ra chỉ có bi đỏ và bi vàng. Do đó các kết quả của biến cố  là:  n() = C₉⁴ = 126.

Xác suất để xảy ra  là: 

Xác suất để xảy ra A là: 

Vậy xác suất để trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là 41/55.

b) Gọi B là biến cố “Trong 4 bi có ít nhất 2 bi đỏ”

Khi đó là biến cố “Trong 4 bi có 1 bi đỏ hoặc không có bi đỏ nào”:

TH1: Có 1 bi đỏ, có C₄¹ .C₈³ = 224;

TH2: Không có bi đỏ, có C₈⁴ = 70;

Do đó các kết quả của biến cố  là: n() = 224 + 70 = 294.

Xác suất để xảy ra  là: 

Xác suất để xảy ra B là: P(B) =1 – P() = 1 – 98/165 = 67/165

Vậy xác suất để trong 4 bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ là 67/165.