Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì, giải bất phương trình bậc hai một ẩn? Toán 10 chân trời tập 2 chương 7 bài 2

Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì, giải bất phương trình bậc hai một ẩn như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c > 0, với a ≠ 0.

Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.

* Ví dụ: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) x² + x – 6 ≤ 0;

b) x + 2 > 0;

c) –6x² – 7x + 5 > 0.

* Lời giải:

a) x² + x – 6 ≤ 0 có dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 1, b = 1, c = –6 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì 2² + 2 – 6 = 0 nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

c) –6x² – 7x + 5 > 0 có dạng ax² + bx + c > 0 với a = –6, b = –7 và c = 5 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì –6.2² – 7.2 + 5 = –33 < 0 nên x = 2 không là (một) nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

– Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.

Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

* Ví dụ: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 15x² + 7x – 2 ≤ 0;

b) –2x² + x – 3 < 0.

* Lời giải:

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 15x² + 7x – 2

có ∆ = 7² – 4.(–2).15 = 169 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/5 ; x₂ = –2/3 và a = 15 > 0.

Nên f(x) ≤ 0 khi x ∈ [–2/3; 1/5]

Vậy bất phương trình 15x² + 7x – 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S = [–2/3; 1/5] .

b) Xét tam thức bậc hai g(x) = –2x² + x – 3

có ∆ = 1² – 4.(–2).(–3) = –23 < 0 và a = –2 < 0.

Do đó g(x) vô nghiệm.

⇒ g(x) < 0, x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình –2x² + x – 3 < 0 có tập nghiệm S = ℝ.