Phương trình 3 đường Conic: Phương trình chính tắc của Elip, Hypebol, Parabol? Toán 10 chân trời tập 2 chương 9 bài 4

Viết Phương trình chính tắc của Elip, Hypebol, Parabol như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Elip: Nhận biết và viết phương trình chính tắc của Elip

1.1. Cách nhận biết Elip

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của elip (a > c).

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(–c; 0) và F2(c; 0).

Người ta chứng minh được:

  (1)

Trong đó, 

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

* Chú ý: 

• (E) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0), A₂(a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B₁(0; –b), B₂(0; b).

• Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục nhỏ của elip.

• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

• Nếu M(x; y) ∈ (E) thì |x| ≤ a, |y| ≥ b.

* Ví dụ: Viết phương trình chính tắc Elip trong hình 4 sau:

* Lời giải:

Từ hình 4, ta có: a = 3, b = 2

Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

2. Hypebol: Nhận biết Hypebol, Viết phương trình chính tắc Hypebol

2.1. Cách nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F₁F₂. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F₁M – F₂M| = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c > a).

2.2. Phương trình chính tắc của hypebol

Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M – F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

Người ta chứng minh được:

   (2)

Trong đó: 

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

* Chú ý:

• (H) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0). Nếu ta vẽ hai điểm B₁(0; –b) và B₂(0; b) vào hình chữ nhật OA₂PB₂ thì 

• Các điểm A₁, A₂ gọi là các đỉnh của hypebol.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục ảo của hypebol.

• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

• Nếu M(x; y) ∈ (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.

* Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.

* Lời giải:

Tiêu cự của hypebol là: 2c = 10 ⇔ c = 5 và độ dài trục ảo là 2b = 6 ⇔ b = 3.

Ta có: 

⇔ a² + b² = c²

⇔ a² = c² – b² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

⇔ a = 4

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6 là:

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là:

3. Parabol: Nhận biết Parabol, Viết phương trình Parabol

3.1. Cách nhận biết parabol

Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆.

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).

3.2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F(P/2; ) và ∆: x + P/2 = 0.

Người ta chứng minh được:

M(x; y) ∈ (P) ⇔ y² = 2px(3).

Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

* Chú ý:

• O gọi là đỉnh của parabol (P).

• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P).

• p gọi là tham số tiêu của parabol (P).

• Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M’(x; –y) ∈ (P).

* Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

* Lời giải:

(P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Ta suy ra p/2 = 4

Khi đó p = 2.4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 16x.