Bài 1.23 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

10:10:0322/05/2025

Bài 1.23 thuộc chương 1 SGK Toán 12 Tập 1 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, dưới đây là lời giải chi tiết, dễ hiểu để các em học tốt môn Toán.

Đề bài 1.23 - SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1.23 SGK Toán 12 Tập 1:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

• Tập xác định: D = R\{1}

• Sự biến thiên:

$y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

$y'=2-\frac{5}{(x-1)^2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Trong khoảng $\left ( -\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2} \right )$ và $\left ( \frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right )$ , y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng $\dpi{100} \left ( \frac{2-\sqrt{10}}{2} ;1 \right )$ và $\left (1; \frac{2+\sqrt{10}}{2}\right )$ , y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ giá trị cực đại $y_{CD}=-2\sqrt{10}+3$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ giá trị cực tiểu $y_{CT}=2\sqrt{10}+3$

• Tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow 1^- }y=\lim_{x\rightarrow 1^- }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow 1^+ }y=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$

Nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(2x+1)]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [2x+1+\frac{5}{x-1}-(2x+1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{5}{x-1}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(2x+1)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [2x+1+\frac{5}{x-1}-(2x+1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{5}{x-1}=0$

Nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

BBT câu a bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

• Đồ thị

Đồ thị câu a bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

• Tập xác định: D = R\{-3}

• Sự biến thiên:

$y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

$y'=1-\frac{4}{(x+3)^2}=0$ ⇔ x = -1 hoặc x = -5

Trong khoảng (-∞; - 5) và (-1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng (-5; -3) và (-3; -1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = -5 giá trị cực đại y_CĐ = -8

Hàm số đạt cực tiểu tại x= -1 giá trị cực tiểu y_CT = 0

• Tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -3^- }y=\lim_{x\rightarrow -3^- }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -3^+ }y=\lim_{x\rightarrow -3^+ }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$

Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [x-1+\frac{4}{x+1}-(x-1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{4}{x+3}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [x-1+\frac{4}{x+1}-(x-1) \right ]$ $= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4}{x+3}=0$

Nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

BBT câu b bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

• Đồ thị

Đồ thị câu b bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1/3)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (-1; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-3; -4) ủa hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Hy vọng với lời giải bài 1.23 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức ở trên đã giúp các em hiểu và nắm vững phần kiến thức này. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

• Xem Giải bài tập Toán 12 Tập 1 SGK Kết nối tri thức