Tổng Hợp Tính Chất Của Phép Khai Phương - Toán 9 Chân trời tập 1 Chương 3 bài 3

19:24:4718/08/2025

Khám phá lý thuyết và các tính chất của phép khai phương trong chương trình Toán 9 sách Chân Trời Sáng Tạo. Bài viết giải thích chi tiết cách rút gọn căn thức bậc hai của một bình phương, liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, kèm ví dụ minh họa.

Bài 3: Tính chất của phép khai phương trong chương 3 Toán 9 sách Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này là nền tảng để các em làm quen với các phép biến đổi căn thức phức tạp. Nắm vững những tính chất này sẽ giúp việc giải toán trở nên dễ dàng và chính xác hơn.

1. Căn Thức Bậc Hai Của Một Bình Phương

Lý thuyết: Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^2}=|a|.$
- Tổng quát hơn, với biểu thức A bất kỳ, ta có $\sqrt{A^2}=|A|.$
  - $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$ (tức là khi A nhận giá trị không âm).
  - $\sqrt{A^2}=-A$ khi $A<0$ (tức là khi A nhận giá trị âm).
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:
- a) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|2-\sqrt{3}|.$ Vì $2=\sqrt{4}>\sqrt{3},$ nên $2-\sqrt{3}>0.$ Do đó $|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}.$
- b) $\sqrt{(2n-\sqrt{7})^2}$ với $n>5$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{(2n-\sqrt{7})^2}=|2n-\sqrt{7}|$ . Với n > 5, suy ra 2n > 10. Vì $10>\sqrt{7}$ , nên $2n-\sqrt{7}>0$ . Do đó, $|2n-\sqrt{7}|=2n-\sqrt{7}.$
- c) $\sqrt{a^4}$ với $a<0$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}=|a^2|.$ Do $a^2\ge 0$ với mọi giá trị của a, nên $|a^2|=a^2$ . Vậy $\sqrt{a^4}=a^2.$

2. Căn Thức Bậc Hai Của Một Tích

Lý thuyết: Với hai số thực a và b không âm, ta có $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$
- Tương tự, với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có $\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}.$
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
- a) $\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{10\cdot 8}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}.$
- b) $\sqrt{1,6}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{1,6}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{1,6\cdot 3\cdot 5}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$ .
Lưu ý:
- Với số thực a bất kì và b không âm, ta có $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$ . Phép biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
- Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn:
  - Nếu $a\ge 0$ thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}.$
  - Nếu $a<0$ thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}.$
Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:
- a) $5\sqrt{3}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $5>0$ , nên $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}.$
- b) $-2\sqrt{7}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $-2<0$ , nên $-2\sqrt{7}=-\sqrt{(-2)^2\cdot 7}=-\sqrt{4\cdot 7}=-\sqrt{28}$ .
- c) $b\sqrt{\frac{3}{b}}$ với $b>0$
  - Hướng dẫn giải: Vì $b>0$ , nên $b\sqrt{\frac{3}{b}}=\sqrt{b^2.\frac{3}{b}}=\sqrt{3b}$ .

3. Căn Thức Bậc Hai Của Một Thương

Lý thuyết: Với số thực a không âm và số thực b dương, ta có $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .
- Tương tự, với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
- a) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ .
- b) $\sqrt{16}:\sqrt{8}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{16}:\sqrt{8}=\sqrt{\frac{16}{8}}=\sqrt{2}$ .
- c) $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}$
  - Hướng dẫn giải: Ta có $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}=\sqrt{\frac{0,7}{1,4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Nắm vững các tính chất của phép khai phương là chìa khóa để giải quyết các bài toán về căn thức. Các em hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo những phép biến đổi này.

• Xem thêm:

Lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 Chương 3 bài 1

Lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 Chương 3 bài 2

Lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 Chương 3 bài 4