Tổng Hợp Kiến Thức Bất Đẳng Thức và Các Tính Chất Cơ Bản - Toán 9 Chân trời tập 1 Chương 2 bài 1

Bài 1: Bất đẳng thức theo sách giáo khoa Toán 9 - Chân Trời Sáng Tạo. Bất đẳng thức là một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng của Đại số. Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết về bất đẳng thức và các tính chất cơ bản của nó, giúp các em dễ dàng nắm vững kiến thức và áp dụng vào bài tập.

1. Khái Niệm Bất Đẳng Thức

• Định nghĩa: Một hệ thức có dạng $a>b$ (hoặc $a<b$, $a\ge b$, $a\le b$) được gọi là một bất đẳng thức.

• Các thành phần:

  • $a$ được gọi là vế trái của bất đẳng thức.

  • $b$ được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Chỉ ra vế trái, vế phải

Hãy chỉ ra bất đẳng thức diễn tả số $x$ nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

• Hướng dẫn giải:

  • Bất đẳng thức diễn tả "số $x$ nhỏ hơn hoặc bằng 5" là $x\le 5$.

  • Vế trái của bất đẳng thức là $x$.

  • Vế phải của bất đẳng thức là $5$.

2. Các Tính Chất Cơ Bản Của Bất Đẳng Thức

2.1. Tính chất bắc cầu

• Lý thuyết: Cho ba số $a,b,c$. Nếu $a>b$ và $b>c$ thì ta có thể suy ra $a>c$.

• Lưu ý: Tính chất này vẫn đúng với các dấu bất đẳng thức khác như $<$, $\ge$, $\le$.

Ví dụ 2: Nếu $u>6$ và $6>v$ thì theo tính chất bắc cầu, ta suy ra $u>v$.

Ví dụ 3: So sánh hai số $a$ và $b$, biết $a\ge 3,5$ và $b\le 3,5$.

• Hướng dẫn giải:

  • Từ $b\le 3,5$, ta có thể viết lại là $3,5\ge b$.

  • Ta có: $a\ge 3,5$ và $3,5\ge b$.

  • Theo tính chất bắc cầu, ta suy ra $a\ge b$.

2.2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

• Lý thuyết: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Công thức: Cho ba số $a,b,c$. Nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$.

• Lưu ý: Tính chất này vẫn đúng với các dấu bất đẳng thức khác như $<$, $\ge$, $\le$.

Ví dụ 4: Cho hai số $m$ và $n$ thỏa mãn $m\le n$. Chứng tỏ $m+5\le n+7$.

• Hướng dẫn giải:

  • Cộng 5 vào hai vế của bất đẳng thức $m\le n$, ta được: $m+5\le n+5$ (1).

  • Ta có bất đẳng thức $5\le 7$. Cộng $n$ vào hai vế, ta được: $5+n\le 7+n$ hay $n+5\le n+7$ (2).

  • Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta suy ra $m+5\le n+7$.

2.3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Lý thuyết:

  • Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều.

  • Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều.

• Công thức: Cho ba số $a,b,c$ và $a>b$.

  • Nếu $c>0$ thì $a\cdot c>b\cdot c$.

  • Nếu $c<0$ thì $a\cdot c<b\cdot c$.

• Lưu ý: Tính chất này vẫn đúng với các dấu bất đẳng thức khác như $<$, $\ge$, $\le$.

Ví dụ 5: Cho hai số $a,b$ thỏa mãn a²>b²>0. Chứng tỏ −3a²<−2b².

• Hướng dẫn giải:

  • Từ bất đẳng thức a2>b2, nhân cả hai vế với số âm $(-3)$, ta được: −3a²<−3b² (1).

  • Ta có bất đẳng thức $-3<-2$. Vì b²>0, nhân cả hai vế với b², ta được: −3b²<−2b² (2).

  • Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta suy ra −3a²<−2b².