Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng - Toán lớp 10

Vậy công công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng viết như thế nào? Biểu thức tọa độ của tích vô hướng ra sao? ứng dụng của tích vô hướng là gì? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu ở bài viết này.

I. Tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng

1. Định nghĩa tích vô hướng

- Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Tích vô hướng của $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=| \overrightarrow{a}| . | \overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$ , ta quy ước:

$\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0.

* Chú ý:

i) Với $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có: $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0 ⇔ $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$

ii) Khi $\small \overrightarrow{a}$ = $\small \overrightarrow{b}$ tích vô hướng của $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{a}$ được ký hiệu là $\dpi{100} \small \overrightarrow{a}^2$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\small \overrightarrow{a}$ .

Ta có: $\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{a}|cos0^0=|\overrightarrow{a}|^2$

2. Các tính chất của tích vô hướng

- Với ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ bất kỳ và mọi số k ta có:

i) $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{b}$ . $\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán)

ii) $\overrightarrow{a}$ .( $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ ) = $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối)

(k $\overrightarrow{a}$ ). $\overrightarrow{b}$ = k( $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ ) = $\overrightarrow{a}$ .(k $\overrightarrow{b}$ )

iii) $\overrightarrow{a}^2\geq 0,\overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

* Nhận xét: Từ tính chất của tích vô hướng của 2 vectơ, ta suy ra:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2$

II. Công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng và ứng dụng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Trên mặt phẳng tọa độ (O; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$ ), cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ , $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ khi đó tích vô hướng của là:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$

2. Ứng dụng của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Ứng dụng của tích vô hướng cho ta công thức tính độ dài của vectơ, công thức tính góc giữa 2 vectơ và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, cụ thể.

i) Công thức tính độ dài của vectơ

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ được tính theo công thức:

$\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$

ii) Công thức tính góc giữa hai vectơ

- Nếu $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ đều khác $\overrightarrow{0}$ thì ta có:

$cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left |\overrightarrow{a} \right |.\left |\overrightarrow{b} \right |}$ $=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$

iii) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

- Khoảng cách giữa 2 điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) được tính theo công thức:

$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right | = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Hy vọng với bài viết Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng ở trên của hayhochoi giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng - Toán lớp 10

Tags:

Đánh giá & nhận xét