Giải bài 3.12 trang 56 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải bài toán này, các em cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất tam giác đều: Ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng 60∘.

2. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau.

3. Quan hệ giữa các góc khi có đường thẳng song song: Các cặp góc đồng vị, so le trong bằng nhau.

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.

Vì ΔABC đều nên có:

Vì PM // BC nên  (hai góc đồng vị)

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có

⇒ Tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (*)

Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có các tứ giác BPMQ và MQCR là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ và MC = QR (**)

Từ (*) và (**) ⇒ PR + PQ + QR = MA + MB + MC.

Mà PR + PQ + QR chính là chu vi của tam giác PQR.

Vậy chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Để tam giác PQR là tam giác đều thì:

 PR = PQ = QR ⇒ MA = MB = MC

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của ΔABC.

Vì vậy, M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì ΔPQR là tam giác đều.