Lý thuyết Toán 10 bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức)

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1.1. Định nghĩa

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng tổng quát là:  (hoặc các dạng , , ). Trong đó, $a,b,c$ là những số thực đã cho, với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

• Cặp số (x₀​;y₀​) được gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$ nếu bất đẳng thức  đúng.

• Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

• Ví dụ:

  •  là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

  •  không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 3 ẩn.

  • Cặp số $(-1;-2)$ là nghiệm của bất phương trình  vì  (đúng).

  • Cặp số $(-1;2)$ là nghiệm của bất phương trình vì  (đúng).

1.2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

• Miền nghiệm của bất phương trình  là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ  thỏa mãn bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

• Đường thẳng $d$ có phương trình  chia mặt phẳng tọa độ $Oxy$ thành hai nửa mặt phẳng:

  • Nửa mặt phẳng chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn .

  • Nửa mặt phẳng chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn .

• Cách biểu diễn miền nghiệm:

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$.

  • Bước 2: Lấy một điểm  không thuộc đường thẳng $d$ (thường chọn gốc tọa độ $O(0;0)$ nếu nó không nằm trên $d$).

  • Bước 3: Tính  và so sánh với $c$.

  • Bước 4:

    • Nếu  thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa .

    • Nếu  không thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa .

  • Chú ý:

    • Đối với bất phương trình có dấu $<,>$, ta bỏ đường thẳng $d$ và vẽ bằng nét đứt.

    • Đối với bất phương trình có dấu ≤, ≥, ta lấy cả đường thẳng $d$ và vẽ bằng nét liền.

• Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:5x-7y=0$. Đường thẳng này đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

  • Bước 2: Lấy điểm $M(0;1)$ không thuộc $d$.

  • Bước 3: Thay tọa độ $M(0;1)$ vào bất phương trình:  (đúng).

  • Bước 4: Vì $M(0;1)$ thỏa mãn bất phương trình, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M$.

2. Bài tập ứng dụng 

Bài 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

• Hướng dẫn giải:

  • a) : Đúng, có dạng  với .

  • b) : Sai, có bậc hai .

  • c) : Sai, có bậc hai ().

  • d) : Đúng, có dạng  với .

  • e) : Sai, có ba ẩn .

  • Đáp án: Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a) và d).

Bài 2: Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: ?

• Hướng dẫn giải:

  • Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:x+y=100$. Đường thẳng này đi qua  và .

  • Bước 2: Lấy điểm $O(0;0)$ không thuộc $d$. Thay vào bất phương trình:  (sai).

  • Bước 3: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc tọa độ $O$.

  • Miền nghiệm: Là nửa mặt phẳng ở phía trên đường thẳng $d$.

Bài 3: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: . Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình trên?

• Hướng dẫn giải:

  • Thay từng cặp số vào bất phương trình:

    •  (đúng).

    •  (đúng).

    •  (đúng).

    •  (đúng).

    •  (sai).

  • Đáp án: Các cặp nghiệm thỏa mãn là .