Lý thuyết Toán 10 bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức)

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1.1. Định nghĩa

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Cặp số  là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi  đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

• Ví dụ:

  • Hệ bất phương trình  là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

  • Hệ bất phương trình  không phải là hệ bậc nhất vì có bất phương trình bậc hai .

• Ví dụ: Cặp số (1; -1) có phải là nghiệm của hệ bất phương trình  không?

  • Hướng dẫn giải:

    • Thay (1; -1) vào bất phương trình thứ nhất:  (đúng).

    • Thay (1; -1) vào bất phương trình thứ hai:  (đúng).

    • Vì cặp số (1; -1) thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên nó là nghiệm của hệ.

1.2. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ.

• Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Cách xác định miền nghiệm của một hệ:

  • Bước 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ.

  • Bước 2: Gạch bỏ các miền không phải là nghiệm của từng bất phương trình.

  • Bước 3: Miền không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

• Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: 

  • Miền 1:  là nửa mặt phẳng bên phải trục tung .

  • Miền 2:  là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành .

  • Miền 3:  là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ  (sau khi vẽ đường thẳng ).

  • Giao của ba miền trên là một tam giác với ba đỉnh là .

2. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức  trên một miền nghiệm cho trước.

• Nguyên tắc: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức  đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác .

• Ví dụ: Cho hệ bất phương trình:  và biểu thức . Tìm giá trị lớn nhất của .

• Hướng dẫn giải:

  • Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ

    • Bất phương trình  và  giới hạn miền nghiệm trong góc phần tư thứ nhất.

    • Vẽ đường thẳng : .

      Gốc tọa độ  thỏa mãn bất phương trình .

    • Vẽ đường thẳng :.

      Gốc tọa độ  thỏa mãn bất phương trình .

    • Miền nghiệm là miền tứ giác  với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng:

      • .

      • .

      •  là giao điểm của  và : .

      •  là giao điểm của  với trục : .

  • Bước 2: Tính giá trị của  tại các đỉnh

    • .

    • .

    • .

    • .

  • Bước 3: Kết luận

    • So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của  là .