Gợi ý Đáp Án đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 công lập ở Hà Nội

Đề thi toán vào lớp 10 THPT ở Hà nội gồm 5 bài thi các sĩ tử có 120 phút để giải các bài này. Thang điểm bài 4 phần hình học chiếm 3 điểm, các bài còn lại từ 0,5 đến 2,5 điểm.

Dưới đây là nội dung của đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 THPT công lập ở Hà Nội cùng gợi ý lời giải và đáp án để các em tham khảo.

Bài I (2,0 điểm):  Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 năm 2019 vào công lập Hà Nội

 Cho 2 biểu thức  và  với x≥0,x≠25.

1) Timg giá trị của biểu thức A khi x=9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P=A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

* Lời giải gợi ý:

 1). Tìm giá trị của biểu thức A khi x=9.

- Thay x=9 vào ta được: 

2). Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P=A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

- Ta có:

⇒ Vậy để P nguyên thì  ⇒ (25 - x) ∈ Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}

- Ta có bảng giá trị x sau (lưu ý đối chiếu đk x≥0,x≠25):

- Ta thấy, các nghiệm x đều thỏa mãn điều kiện x≥0,x≠25, và từ bảng trên giá trị lớn nhất P đạt được là P = 4 khi x =24.

Bài II (2,5 điểm):  Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 năm 2019 vào công lập Hà Nội

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

 Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ 2 làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là 0,32m² . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

* Lời giải gợi ý:

1). Gọi thời gian làm xong công việc của đội thứ nhất là x (x>15 [ngày])

 Gọi thời gian làm xong công việc của đội thứ nhất là y (y>15 [ngày])

- Như vậy, 1 ngày đội thứ nhất làm được  công việc; đội thứ hai làm được  công việc.

- Theo bài ra, 2 đội cùng làm hết 15 ngày nên ta có:

    (*)

- Nếu đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì hoàn thành 25% công việc. Ta có:

  (**)

- Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình, giải hệ phương trình này ta được: x=24 và y=40 (thỏa điều kiện).

- Vậy độ thứ nhất làm một mình hết 24 ngày, đội thứ hai làm một mình hết 40 ngày.

2). Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ:

Bài III (2,0 điểm):  Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 năm 2019 vào công lập Hà Nội

1) Giải phương trình: x⁴ - 7x² - 18 =0

2) Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy, cho đường thẳng (d): y=2mx - m² + 1 và parabol (P): y = x².

 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

 b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ , x₂ thỏa mãn: 

* Lời giải gợi ý:

1). Giải phương trình: x⁴ - 7x² - 18 =0 (*)

- Phương trình luôn xác định với mọi x ∈ R.

(*) ⇔ x⁴ + 2x² - 9x² - 18 = 0

⇔ x²(x² + 2) - 9(x² + 2) = 0

⇔ (x² + 2)(x² - 9) = 0

- Do x² + 2 > 0 ∀x ∈ R nên ta có: x² - 9 = 0 ⇔ x² = 9 ⇔ x = ±3.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = -3.

2). a). Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

 x² = 2mx - m² + 1

⇔ x² - 2mx + m² = 1

⇔ (x - m)² = 1 

⇒ Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt là x = m+1 và x = m-1.

⇒ đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

b). Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2mx - m² + 1

⇔ x² - 2mx + m² - 1 = 0

- Vì phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt theo câu a) nên theo Vi-ét ta có:

 ; 

- Nên ta có:  

- Như vậy: 

- Do m≠±1 nên chỉ có m=3 thỏa điều kiện, vậy có duy nhất một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m=3.

Bài IV (3,0 điểm): Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 năm 2019 vào công lập Hà Nội

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB

a) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng OA vuông góc với đường thẳng EF

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh rằng tam giác AIB và đường thẳng KH // IP.

* Lời giải gợi ý:

a) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

- Ta có: BE ⊥ AC ⇒ ∠BEC = 90⁰ ⇒ E thuộc đường tròn đường kính BC. (1)

- Tương tự: CF ⊥ AB ⇒ ∠BFC = 90⁰ ⇒ F thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

- Từ (1) và (2) ⇒ B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh rằng OA vuông góc với đường thẳng EF

- Do OA=OC (vì A,C cùng thuộc đường tròn tâm (O)).

⇒ ΔAOC cân tại O ⇒ ∠OAC = ∠ACO

- Mà ∠ACO + ∠OAC + ∠AOC = 180⁰ và ∠AOC = 2∠ABC (tính chất góc nội tiếp) nên

   (3)

- Mặt khác, theo câu a) thì tứ giác BCEF nội tiếp nên ∠CEF + ∠ABC = 180⁰, mà ∠CEF + ∠AEF = 180⁰ ⇒ ∠ABC = ∠AEF  (4)

- Từ (3) và (4) ⇒ ∠OAC + ∠AEF = 90⁰ - ∠ABC + ∠ABC = 90⁰.

⇒ OA ⊥ EF.

c). Do BE, CF là đường cao của ΔABC nên H là trực tâm của ABC.

⇒ AH ⊥ BC ⇒ ∠PAE + ∠ACB = 90⁰ hay ∠PAE = 90⁰ - ∠ACB  (5)

- Theo câu b) thì OA ⊥ EF, do đó: IAB = 90⁰ - ∠AFE

- Mặt khác, chứng minh tương tự (4) ta có: ∠AFE = ∠ACB

⇒ ∠IAB = 90⁰ - ∠ACB  (6)

- Từ (5) và (6) có: ∠PAE = ∠IAB  (7)

- ΔAPE và ΔAIB có: ∠ABC = ∠AEP theo (4) và ∠PAE = ∠IAB nên ΔAPE đồng dạng ΔAIB.

- Vì ΔAPE ∼ ΔAIB nên:   (8)

- Gọi D là giao điểm thứ 2 của AO và đường tròn (O). Khi đó AD là đường kính của (O) nên ta có:

 ∠DCA = 90⁰ ⇒ DC ⊥ AC mà BE ⊥ AC nên DC//BE.

- Chứng minh tương tự, có BD//CF ⇒ tứ giác BDCH là hình bình hành. Mà K là trung điểm của BC nên ta cũng có K là trung điểm của HD.  (9)

- ΔDBA và ΔHEA có ∠DBA = ∠HEA = 90⁰ và ∠HAE = ∠DAB theo (7) nên ΔDBA đồng dạng ΔHEA, nên ta có:

   (10).

- Từ (8) và (10) ⇒ .

- Áp dụng định lý Thales đảo cho ΔADH ta có IP//DH, kết hợp với (9)

⇒ IP//KH (đpcm).

Bài V (0,5 điểm):  Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 năm 2019 vào công lập Hà Nội

 Cho biểu thức P = a⁴ + b⁴ - ab với a, b là các số thực thỏa mãn a² + b² + ab = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

* Lời giải gợi ý:

- Do a² + b² + ab = 3 ⇒ a² + b² = 3 - ab; ta có:

 P = a⁴ + b⁴ - ab = (a² + b²) - 2a²b² - ab = (3 - ab)² - 2a²b² - ab = 9 - 7ab - a²b².

⇒ 4P = 36 - 28ab - 4a²b² = -(2ab + 7)² + 85

- Do (a + b)² ≥ 0 và (a - b)² ≥ 0 nên ta có:

 3 + ab = a² + b² + ab + ab = a² + b² + 2ab ≥ 0

và: 3(1 - ab) = 3 - 3ab = a² + b² + ab - 3ab = a² + b² - 2ab ≥ 0.

⇒ -3 ≤ ab ≤ 1.

- Từ đây, ta có 1 ≤ 2ab + 7 ≤ 9 ⇒ 1 ≤ (2ab + 7)² ≤ 81, vậy ta có:

 84 = -1 + 85 ≥ 4P ≥  -81 + 85 = 4

⇔ 21 ≥ P ≥ 1

- Vậy 21 ≥ P, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = -b, kết hợp a² + b² + ab = 3 ta có .

- Và P ≥ 1, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b, kết hợp a² + b² + ab = 3 ta có: .

- Kết luận: P_max = 21; P_min = 1.

Hy vọng với gợi ý lời giải đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 năm 2019 tại các trường THPT công lập Hà Nội ở trên giúp các em có thể ước lượng được kết quả thi của mình và phấn đấu làm tốt ở các bài thi tiếp theo, chúc các em đạt kết quả cao.