Giải bài 3 trang 13 Toán 10 Tập 2 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài 3 trang 13 Toán 10 CTST:

Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50m². Hỏi chiều rộng vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Lập biến và Điều kiện: $30 \text{ m}$ hàng rào chính là chu vi ($C$) của hình chữ nhật. Nửa chu vi là $p = 15 \text{ m}$. Gọi chiều rộng là $x$.

2. Biểu diễn chiều dài: Chiều dài là $15 - x$.

3. Lập Bất phương trình: Diện tích $A = \text{dài} \times \text{rộng}$. Yêu cầu "diện tích ít nhất $50 \text{ m}^2$" có nghĩa là $A \ge 50$.

4. Điều kiện thực tế: Vì $x$ là chiều rộng và chiều dài phải lớn hơn chiều rộng, ta có $0 < x < 15 - x \implies 2x < 15 \implies \mathbf{0 < x < 7,5}$. Tuy nhiên, ta sẽ xét nghiệm $x$ trước, sau đó so sánh với điều kiện.

Lời giải chi tiết bài 3 trang 13 Toán 10:

Mảnh đất hình chữ nhật có 30m hàng rào nghĩa là chu vi mảnh đấy hình chữ nhật là 30m. Khi đó nửa chu vi của hình chữ nhật là 30 : 2 = 15 (m).

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 15).

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là x(15 – x) = - x² + 15x (m).

Vì diện tích mảnh vườn hoa ít nhất là 50 m² nên:

 –x² + 15x ≥ 50 ⇔ -x² + 15x – 50 ≥ 0.

Tam thức bậc hai –x² + 15x – 50 có ∆ = 15² – 4.(-1).(-50) = 25 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5, x₂ = 10 và a = -1 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x nằm trong khoảng (5; 10) và f(x) = 0 khi x = 5 hoặc x = 10.

Do đó - x² + 15x – 50 ≥ 0 khi x ∈ [5; 10].

Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.