Tìm kiếm

Đề bài 4.6 Toán 12 Kết nối tri thức: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là kM = (x – 1)2 và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x). Phân tích và Hướng dẫn giải: Mối liên hệ $k_M$ và $f'(x)$: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x; f(x))$...

Đề bài 4.5 Toán 12 Kết nối tri thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, $f'(x)'=2x+\frac{1}{x^2}$ với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4). Phân tích và Hướng dẫn giải: Tìm nguyên hàm: Hàm số $f(x)$ là nguyên hàm của $f'(x)$. Ta tính $\int f'(x) dx$ để tìm công thức của $f(x)$ dưới dạng $F(x) + C$. Xác định hằng số $C$: Sử dụng điều kiện $f(1) = 1$ để...

Đề bài 4.4 Toán 12 Kết nối tri thức: Tìm: a) $\int\left(2\cos x-\frac{3}{\sin^2 x}\right)dx$; b) $\int 4\sin^2\frac{x}{2}dx$; c) $\int\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2dx$; d) $\int(x+\tan^2x)dx$ Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta sử dụng các công thức lượng giác và nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm cơ bản: $\int \cos x dx = \sin x + C$; $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$. Công thức hạ bậc: $\sin^2 \alpha = \frac{1...

Đề bài 4.3 Toán 12 Kết nối tri thức: Tìm: a) $\int\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$; b) $\int\sqrt{x}(7x^2-3)dx (x>0)$; c) $\int\frac{(2x+1)^2}{x^2}dx$; d) $\int\left(2^x+\frac{3}{x^2}\right)dx$ Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: Chuyển đổi: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Nguyên hàm lũy thừa: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \ne -1$). Nguyên hàm đặc...

Đề bài 4.2 Toán 12 Kết nối tri thức: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 3x2 + 2x – 1; b) f(x) = x3 – x; c) f(x) = (2x + 1)2; d) $f(x)=\left(2x-\frac{1}{x}\right)^2$ Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản (với $C$ là hằng số): Nguyên hàm hàm lũy thừa: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \ne -1$). Nguyên hàm hàm $1/x$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| +...

Đề bài 4.1 Toán 12 Kết nối tri thức: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞); b) F(x) = esinx và f(x) = ecosx trên ℝ. Phân tích và Hướng dẫn giải: Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $\mathbf{F'(x) = f(x)}$ với mọi $x$ thuộc $K$. Ta cần...

Đề bài 6.19 trang 19 Toán 11 KNTT: Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức M(t) = 75 – 20ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 12 (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học...

Đề bài 6.18 trang 19 Toán 11 KNTT: Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số m(t) = 13e– 0,015t. a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0. b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu? Phân tích và Hướng dẫn giải: Khối lượng ban đầu (Câu a): Khối lượng tại thời...

Đề bài 6.17 trang 19 Toán 11 KNTT: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = log|x + 3| b) y = ln(4 – x2) Phân tích và Hướng dẫn giải: Hàm số $y = \log_a f(x)$ xác định khi và chỉ khi $\mathbf{f(x) > 0}$. Câu a): Biểu thức dưới logarit là $|x + 3|$. Vì trị tuyệt đối luôn không âm, ta chỉ cần loại bỏ trường hợp nó bằng $0$. Câu b): Biểu thức dưới logarit là $4 - x^2$. Ta giải bất phương...

Đề bài 6.16 trang 19 Toán 11 KNTT: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = logx b) $y=log_{\frac{1}{3}}x$ Phân tích và Hướng dẫn giải: Để vẽ đồ thị hàm số logarit $y = \log_a x$, ta lập bảng giá trị và xác định các tính chất: Tập xác định ($D$): $x > 0$. Đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung. Điểm cố định: Cả hai đồ thị đều đi qua điểm $\mathbf{(1; 0)}$. Tính đơn...