Lý thuyết Toán 11 bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản (Kết nối tri thức)

10:58:1830/08/2025

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản thuộc sách giáo khoa Toán 11 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là một trong những bài học trọng tâm của chương trình. Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết về phương trình lượng giác cơ bản và cách giải chi tiết, giúp các em nắm vững nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình $f(x)=0$ tương đương với phương trình $g(x)=0$ thì ta viết $f(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0.$

Chú ý:
- Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
- Các phép biến đổi tương đương:
  - Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x).$
  - Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)h(x)=g(x)h(x)$ , ( $h(x)\neq 0$ ).
Ví dụ: Phương trình $-4x+4=0$ có tương đương với phương trình $x^2-2x+1=0$ hay không?
Hướng dẫn giải:
- Tập nghiệm của phương trình $-4x+4=0$ là $S_1=\{1\}.$
- Tập nghiệm của phương trình $x^2-2x+1=0$ là $S_2=\{1\}.$
- Suy ra $S_1=S_2.$
- Vậy hai phương trình đã cho tương đương.

2. Phương trình sinx = m

Phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m|\le 1.$
Khi $|m|\le 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ thỏa mãn \sin \alpha = m. Khi đó: $\sin x=m\Leftrightarrow\sin x=\sin\alpha$ $\Leftrightarrow\begin{cases}x=\alpha+k2\pi\\x=\pi-\alpha+k2\pi\end{cases}$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Chú ý:
- Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin\alpha^\circ$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
- Một số trường hợp đặc biệt:
  - $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
  - $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
  - $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
- $\sin u=\sin v\Leftrightarrow\begin{cases}u=v+k2\pi\\u=\pi-v+k2\pi\end{cases}$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Ví dụ: Giải phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ .
Hướng dẫn giải:

$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sin x=\sin\frac{\pi}{6}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{cases}$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

3. Phương trình cosx = m

Phương trình $\cos x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m|\le 1.$
Khi $|m|\le 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha\in[0;\pi]$ thỏa mãn $\cos\alpha=m.$

Khi đó: $\cos x=m\Leftrightarrow\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Chú ý:
- Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\pm\alpha^\circ+k360^\circ$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
- Một số trường hợp đặc biệt:
  - $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
  - $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
  - $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
- $\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=\pm v+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Ví dụ: Giải phương trình $\cos x=\frac{1}{2}.$
Hướng dẫn giải:

$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\cos x=\cos\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

4. Phương trình tanx = m

Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi $m\in\mathbb{R}.$
Với mọi $m\in\mathbb{R},$ tồn tại duy nhất $\alpha\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn $\tan\alpha=m.$ Khi đó:

$\tan x=m\Leftrightarrow\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì $\tan x=\tan\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Ví dụ: Giải phương trình $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Hướng dẫn giải:

$\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\tan x=\tan\frac{\pi}{6}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

5. Phương trình cotx = m

Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi $m\in\mathbb{R}.$
Với mọi $m\in\mathbb{R}$ , tồn tại duy nhất $\alpha\in(0;\pi)$ thỏa mãn $\cot\alpha=m.$ Khi đó:

$\cot x=m\Leftrightarrow\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì $\cot x=\cot\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Ví dụ: Giải phương trình $\cot x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Hướng dẫn giải:

$\cot x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\cot x=\cot\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc

Để tìm số đo góc, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc rađian).
Bước 2: Tìm số đo góc bằng cách dùng các phím $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}.$
Ví dụ: Tìm số đo độ và rađian của góc $\alpha$ , biết $\sin\alpha=0,45.$
Hướng dẫn giải:
- Số đo độ: Bấm máy tính, ta được $\alpha\approx 26^\circ 44'37''.$
- Số đo rađian: Bấm máy tính, ta được $\alpha\approx 0,46677 rad.$

Bài viết này đã hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và các công thức giải các phương trình lượng giác cơ bản. Nắm vững cách giải và các trường hợp đặc biệt của mỗi phương trình là nền tảng vững chắc để các em giải quyết các bài toán lượng giác trong chương trình Toán 11.

• Xem thêm:

Lý thuyết Toán 11 Bài 1 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 2 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 3 Kết nối tri thức