Lời giải đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 TP.HCM

Nội dung đề thi vào lớp 10 năm 2020 môn Toán của Tp.Hồ Chí Minh gồm 8 câu trong đó có 6 câu về số học đại số và 2 câu về hình học.

Về phần số học và đại số: Bài 1 và 2 là các bài toán cơ bản về đồ thị và phương trình bậc 2. Bài 3 là bài toán thực tế liên quan tới phép chia và cần sử dụng các khái niệm số học từ lớp 6. Bài 4, 5, 7 đều là các bài ở mức độ cơ bản giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Về hình học: Bài 6 về hình học không gian, sử dụng các công thức thể tích cơ bản. Bài 8 về hình học phẳng với mô hình quen thuộc.

Dưới đây là gợi ý lời giải (đáp án) đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2020 TP.HCM:

* Câu 1: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): 

° Lời giải:

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ

• Parabol (P): 

- Ta có bảng giá trị sau:

Như vậy, parabol (P) là đường cong đi qua các điểm (-4;4); (-2;1); (0;0); (2;1); (4;4)

• Đường thẳng (d): 

Như vậy, đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm (0;2); (4;0).

- Vẽ (P) và (d) trên cùng đồ thị như sau:

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

- Để tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) ta xét pt hoành độ giao điểm:

 Với 

 Với 

- Kết luận: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: (2;1) và (-4;4).

* Câu 2: Cho phương trình 2x² - 5x - 3 = 0 có hai nghiệm là x₁; x₂

° Lời giải:

* Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = (x₁ + 2x₂)(x₂ + 2x₁)

- Xét phương trình 2x² - 5x - 3 = 0 có hệ số a = 2; b = -5; c = -3

- Ta có a.c = 2.(-3) = -6<0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

- Theo hệ thức Vi-ét ta có:

- Mặt khác, ta có: A = (x₁ + 2x₂)(x₂ + 2x₁)

- Kết luận: A = 11.

* Câu 3: Quy tắc sau đâ cho ta biết CAN, CHI của năm X nào đó.

- Để xác định CAN, ta tìm số dư r trong phép chia X cho 10 và tra vào bảng 1.

- Để xác định CHI, ta tìm số dư s trong phép chia X cho 12 và tra vào bảng 2.

Ví dụ, năm 2020 có CAN là Canh và CHI là Tí.

Bảng 1

Bảng 2

° Lời giải:

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định CAN, CHI của năm 2005.

- Ta có: 2005 chia 10 được 200 dư 5 nên r = 5 tra vào bảng 1 ta có CAN là Ất

 2005 chia 12 được 167 dư 1 nên s = 1 tra vào bảng 1 ta có CHI là Dậu

→ Vậy năm 2005 có CAN là Ất và CHI là Dậu.

b) Bạn hằng nhớ rằng Nguyễn Huệ lên gôi hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm Mậu Thân nhưng không nhớ rõ đó là năm bao nhiêu mà chỉ nhớ là sự kiên trên xảy ra vào cuối thế kỷ 18. Em hãy giúp xác định chính xác năm đó là năm bao nhiêu?

- Gọi năm đó là X. Vì sự kiện xảy ra vào thế kỷ 18 nên ta có:

 Vì năm X là năm Mậu Thân từ tra từ bảng 1 và bẳng 2 thì X sẽ chia cho 10 dư 8 và X chia hết cho 12.

 Vì X chia 10 dư 8 nên X có chữ số tận cùng là 8 ⇒ b = 8

 Khi đó, năm đó có dạng: 

 Mà X chia hết cho 12 nên X chia hết cho cả 3 và 4.

- Để X chia hết cho 3 thì: 1+ 7 + a + 8 = 16 + a chia hết cho 3 nên a ∈ {2; 5; 8}

 Mà X chia hết cho 4 nên a = 2 hoặc a = 8

⇒ Năm cần tìm là 1728 hoặc 1788

- Theo bài ra năm đó là nửa cuối thế kỷ 18 nên ta có năm đó là 1788.

→ Vậy Nguyễn Huệ lên ngôi Hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm 1788.

* Câu 4: Cước điện thoại y (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hàng tháng, nó phụ thuộc vào lượng thời gian gọi x (phút) của người đó trong tháng. Mối liên hệ giữ hai đại lượng này là một hàm bậc nhất y = ax + b. Hãy tìm a, b biết rằng nhà bạn Nam trong tháng 5 đã gọi 100 phút với số tiền là 40 nghìn đồng và trong tháng 6 đã gọi 40 phút với số tiền là 28 nghìn đồng.

° Lời giải:

- Trong tháng 5 nhà bạn Nam đã gọi 100 phút với số tiền là 40 nghìn đồng nên ta có:

 40 = a.100 + b ⇔ 100a + b = 40 (1)

- Trong tháng 6 nhà bạn Nam đã gọi 40 phút với số tiền là 28 nghìn đồng nên ta có:

 28 = a.40 + b ⇔ 40a + b = 28 (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 Vậy  và b = 20.

* Câu 5: Theo quy định của cửa hàng xe máy, để hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng mỗi nhân viê phải bán được trung bình một chiếc xe máy trong một ngày. Nhân viên nào hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng thì nhận được lương cơ bản là 8 000 000 đồng.

Nếu trong tháng nhân viên nào bán vượt chỉ tiêu thì được thường thêm 8% tiền lời của số xe máy bán vượt chỉ tiêu đó. Trong tháng 5 (có 31 ngày), anh Thành nhận được số tiền là 9 800 000 (bao gồm cả lương cơ bản và tiền thưởng thêm của tháng đó).

Hỏi anh Thành đã bán được bao nhiêu chiếc xe máy trong tháng 5, biết rằng mỗi xe máy bán ra thì cửa hàng lời được 2 500 000 đồng.

° Lời giải:

- Số tiền thưởng anh Thành nhận được là:

 9 800 000 - 8 000 000 = 1 800 000 (đồng)

- Tiền lời của số xe máy anh Thành bán vượt chỉ tiêu là:

 1 800 000 : 8% = 22 500 000 (đồng)

- Số xe máy bán vượt chỉ tiêu là:

 22 500 000 : 2 500 000 = 9 (chiếc)

- Số xe máy anh Thành bán được trong tháng 5 (có 31 ngày) gồm 31 chiếc theo chỉ tiêu một ngày 1 chiếc, và 9 chiếc vượt chỉ tiêu là:

 31 + 9 = 40 (chiếc)

→ Vậy tháng 5 anh Thành bán được 40 chiếc xe máy.

* Câu 6: Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình dạng hộp chữ nhật kích thước 2m x 2m x 1m. Hiện hồ chưa có nước nên anh minh phải ra sông lấy nước. Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước gồm 2 thùng hình trụ bằng nhau có bán kính đáy là 0,2m chiều cao 0,4m.

° Lời giải:

a) Tính lượng nước (m³) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi làn gánh (ghi kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). Biết trong quá trình gánh nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng 10% và công thức tính thể tích hình trụ là V = πR²h

- Thể tích của 2 thùng nước mỗi lần anh Minh gánh được là:

 V₁ = 2πR²h = 2π.0,2².0,4 = 0,032π (m³)

- Trong quá trình gánh, lượng nước hao hụt 10% nên lượng nước thực tế anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh là: V = 0,032π.90% ≈ 0,09(m³).

b) Hỏi anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đổ đầy hồ? Bỏ qua thể tích thành hồ.

- Thể tích của hồ nước hình hộp chữ nhật là: V₀ = 2.2.1 = 4(m³).

- Số lần ít nhất anh Minh cần gánh để đổ đầy hồ nước là:

 (lần).

* Câu 7: Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm bạn của Thư rủ nhau đi ăn kem ở một quán gần trường. Do quan mới khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từ  ly thứ 5 giá mỗi ly kem được giảm 1 500 đồng so với giá ban đầu. Nhóm của Thư mua 9 ly kem với số tiền là 154 500 đồng. Hỏi giá của một lý kem ban đầu?

° Lời giải:

- Gọi giá của 1 ly kem ban đầu là x đồng (ĐK: x>0).

- Giá của 1 ly kem (từ ly thứ 5) sau khi được giảm 1 500 đồng là: x - 1500 (đồng).

- Vì nhóm của Thư mua 9 ly kem nên 9 ly kem đầu có giá x (đồng/ly); 5 ly kem sau có giá x - 1500 (đồng/ly) với số tiền là 154 500 đồng nên ta có phương trình:

 4x + 5(x - 1500) = 154500 ⇔ 4x + 5x - 7500 = 154500

 ⇔ 9x = 154500 + 7500 ⇔ 9x = 162000 ⇔ x = 18000

- Vậy giá của 1 lý kem ban đầu là 18 000 đồng.

* Câu 8: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA > 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O) (D,E là hai tiếp điểm.

Lấy điểm M nằm trên cung nhỏ DE sao cho MD>ME. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt AD, AE lần lượt tại I,J. Đường thẳng DE cắt Ọ tại F.

° Lời giải:

a) Chứng minh OJ là đường trung trực của đoạn thẳng ME và 

- Ta có: AE, IJ là các tiếp tuyến của đường trong (O) taaij E,M.

 Mà AE giao với IJ tại J nên JE = JM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

 Lại có: OE = OM = R nên OJ là đường trung trực của đoạn ME (đpcm).

 Xét ΔOEF và ΔOMF có:

 OF là cạnh chung;

  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 OE = OM = R

⇒ ΔOEF = ΔOMF (c-g-c).

⇒  (góc tương ứng) (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác ODIM nội tiếp và 5 điểm I, D, O, F, M cùng nằm trên một đường tròn.

- Vì AD tiếp tuyến với (O) tại D nên AD ⊥ OD 

 MI tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ MI 

 Tứ giá ODIM có  nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

→ Vậy tứ giác ODIM là tứ giác nội tiếp.

 Theo câu a, 

  = 1/2 số đo cung ME (góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

 Mà  =1/2 số đo cung ME (góc nội tiếp bằng 1/2 số đo cung bị chắn)

 Nên  =1/2 số đo cung ME

 Xét tứ giác OFMD có  (chứng minh trên) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).

 Do đó các điểm O, F, M, D cùng thuộc một đường tròn.

 Mà tứ giác ODIM nội tiếp (ở chứng minh trên) nên các điểm O, D, I, M cùng thuộc 1 đường tròn.

→ Vậy 5 điểm O, D, I, M, F cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Chứng minh  và 

 Xét ΔMOI và ΔDOI có:

 OM = OD = R

 OI chung

 IM = ID (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ ΔMOI = ΔDOI (c-c-c)

 (hai góc tương ứng)

Tứ giác OFMI nội tiếp (theo chứng minh trên) nên  (tính chất tứ giác nội tiếp).

 Mà  theo chứng minh trên, nên 

 Lại có: 

 Xét tứ giác OEAD có  nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180⁰).

(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung OD).

 Mà  ( theo câu b)

 Nên 

Xét ΔOFM và ΔOIA có:

  (chứng minh trên)

  (chứng minh trên)

⇒ ΔOFM ∼ ΔOIA (g.g)

 (hai góc tương ứng)

 (đpcm)

 Tứ giác OFMI nội tiếp (theo chứng minh trên) nên  (góc ngoài tại 1 đỉnh và góc trong tại đỉnh đối diện).

 Xét ΔJFM và ΔJIO có góc J chung.

  (chứng minh trên)

⇒ ΔJFM ∼ ΔJIO (g.g)

 (2 cạnh tương ứng), (2)

Từ (1) và (2)  (đpcm).

Như vậy với gợi ý đáp án và lời giải đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2020 vào trường công lập tại Tp.Hồ Chí Minh ở trên, HayHocHoi hy vọng hữu ích để các em tham khảo.