Cách viết phương trình các cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy - Toán 10 chuyên đề

Vậy cách viết phương trình các cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy như thế nào? chúng ta sẽ cùng HayHocHoi tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

° Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC có một số dạng như sau:

* Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C.

* Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm A và phương trình 2 đường cao BI và CH.

* Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm A và phương trình 2 đường trung tuyến BM và CN.

* Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các trung điểm của các cạnh.

Ngay sau đây chúng ta cùng đi vào làm một số ví dụ minh họa cách lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác qua từng dạng toán cụ thể.

• Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(3;-1), B(6;2) và C(1;4). Hãy viết phương trình đường thẳng AB, BC và CA.

* Lời giải:

- Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

- Tương tự PTTQ của đường thẳng BC là:

- Tương tự PTTQ của đường thẳng CA là: 

• Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các điểm A và phương trình 2 đường cao BI và CH.

* Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và đường cao BI và CH có phương trình lần lượt là 9x - 3y - 4 = 0 và x + y - 2 = 0.

* Lời giải:

- Vì BI ⊥ AC nên vectơ pháp tuyến của BI là vectơ chỉ phương của AC tức là:

⇒ PTĐT AC qua A(2;2) có VTPT (1;3) có pt:

¤ Lưu ý: Có thể viết PTĐT AC có VTPT (1;3) có dạng: x + 3y + m = 0 qua A(2;2) nên thay A vào pt được: 2 + 3.2 + m = 0 ⇒ m = -8 ⇒ PTĐT AC là: x + 3y - 8 = 0.

- Tương tự vì CH ⊥ AB  nên vectơ pháp tuyến của CH là vectơ chỉ phương của AB tức là: 

⇒ PTĐT AB qua A(2;2) có VTPT (-1;1) có pt: 

- Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AB và BI:

 Giải hệ trên được B(2/3;2/3)

- Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AC và CH:

 Giải hệ này được C(-1;3).

⇒ Phương trình tổng quát cạnh BC của tam giác có dạng:

° Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm A và phương trình 2 đường trung tuyến BM và CN.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;1) và hai đường trung tuyến BM và CN có phương trình lần lượt là: 2x + y - 1 = 0 và x - 1 = 0.

* Lời giải:

- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ pt tạo bởi BM và CN:

- Gọi B(x_B;y_B), vì B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có:

 2x_B + y_B - 1 = 0 ⇒ y_B = -2x_B + 1 ⇒ B(x_B; -2x_B+1)

- Gọi C(x_C;y_C), vì C thuộc đường trung tuyến CN nên ta có:

 x_C - 1 = 0 ⇒ x_C = 1 ⇒ C(1;y_C)

- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên có:

- Bài toán giờ trở về lập pt các cạnh của tam giác biết tọa độ điểm A(2;1), B(0;1) và C(1;-5) như loại 1.(Các em tự làm tiếp).

° Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ  các trung điểm của các cạnh tam giác

* Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(2;0), N(2;2) và P(-1;3)

* Lời giải:

• Cách 1: Sử dụng tính chất trung điểm (cách phổ biến thường dùng).

- Vì M là trung điểm của cạnh BC nên có:

- Vì N là trung điểm của cạnh CA nên có:

- Vì P là trung điểm của cạnh AB nên có:

- Để tìm tạo độ A,B,C của tam giác ta đi giải hệ phương trình:

- Vậy ta có tọa độ các điểm A(-1;5), B(-1;1) và C(5;-1)

- Lập phương trình các cạnh tương tự loại 1.

• Cách 2: Sử dụng tính tổng vectơ của hình bình hành (các em vẽ hình để dễ hình dung).

- Tứ giác ANMP là hình bình hành nên có: 

- Tứ giác BMNP là hình bình hành nên: 

- Tương tự CMPN là hình bình hành nên: 

- Từ đây ta quay lại loại 1 lập pt các cạnh tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh.