Tìm kiếm

Đề bài: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 3 +1/n; vn = 5 – 2/n2. Tính các giới hạn sau: a) limun, limvn; b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), limun/vn Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta áp dụng quy tắc giới hạn cơ bản: Tính $\lim u_n$ và $\lim v_n$: Sử dụng quy tắc giới hạn của tổng/hiệu và giới hạn cơ bản $\lim \frac{1}{n^k} = 0$. Tính giới hạn của các phép toán: Áp dụng các quy...

Đề bài: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)? Phân tích và Hướng dẫn giải: Gọi $P = 1\ 000\ 000\...

Đề bài: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình 4). Từ hình vuông C2 lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C3. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C1, C2, C3, ..., Cn, ... Gọi an là độ dài cạnh hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là...

Đề bài: Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C. Phân tích và Hướng dẫn giải Để giải bài toán này, ta sẽ xác định mối quan hệ giữa nhiệt độ của khay nước sau mỗi giờ. Nhiệt độ ban đầu (lúc n=0) là 23∘C. Sau mỗi giờ, nhiệt độ...

Đề bài: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m2. Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông. Phân tích và Hướng dẫn giải: Mô hình hóa: Gọi $u_n$ là diện tích mặt sàn...

Đề bài: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu? Phân tích và Hướng dẫn giải: Mô hình hóa: Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng...

Đề bài: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ. Phân tích và Hướng dẫn giải Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng các tính chất sau: Tính chất của cấp số cộng: Các góc A,B,C,D lập thành cấp số cộng nên ta có thể biểu diễn các góc B,C,D theo góc A...

Đề bài: Cho cấp số nhân (un). Tìm số hạng đầu u1, công bội q trong mỗi trường hợp sau: a) u6 = 192 và u7 = 384; b) u1 + u2 + u3 = 7 và u5 – u2 = 14. Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ để thiết lập các phương trình theo $u_1$ và $q$. Phần a): Ta có hai số hạng liên tiếp. Công bội $q$ có thể tìm trực tiếp bằng tỉ số...

Đề bài: Cho cấp số cộng (un). Tìm số hạng đầu u1, công sai d trong mỗi trường hợp sau: a) u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66; b) u2 + u4 = 22 và u1.u5 = 21. Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$ để thiết lập các phương trình theo $u_1$ và $d$. Phần a): Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $u_1$ và $d$. Phần b): Phương trình bậc nhất (từ tổng)...

Đề bài: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (un­) sau, biết số hạng tổng quát: a)  b) c) Phân tích và Hướng dẫn giải: Ta áp dụng các phương pháp: Tính tăng, giảm: Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$. Tính bị chặn: Tìm các hằng số $m, M$ sao cho $m \le u_n \le M$. Lời giải chi tiết: a)  ta có: un > 0 với mọi n ∈ ℕ* nên un bị chặn dưới. Xét:     với mọi...